Question

【题目】已知抛物线C：y＝ax2－2ax＋c经过点C(1，2)，与x轴交于A(－1，0)、B两点

(1) 求抛物线C的解析式

(2) 如图1，直线交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME＋MF的最大值

(3) 如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx－2k－4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）D(-2，-2)

【解析】（1）把C(1，2)， A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋c，列方程组求解即可;(2) 设M（t，）,利用二次函数图象和一次函数图象得出ME和MF的长，再利用二次函数的最值求解即可;(3) 过D作EF∥x轴，作PE⊥EF于E，QF⊥EF于F,联立方程组再利用根与系数的关系，再由△PED∽△DFQ得出结果.

（1）

(2).设直线OT交ME于G，设M（t，），则G（t，t），

OG= t，MG=，sin∠OGE=sin∠MGF =，MF=MG=

ME+MF= ，

a<0，当t=时，ME+MF的最大值为 ，

(3)过D作EF∥x轴，作PE⊥EF于E，QF⊥EF于F，设D（a，b）,P（x，y）,

Q（x，y）,联立 得

∴x+x=-2k ，xx=-4k- 8

由△PED∽△DFQ得, DEDF=PEQF ,

(a- x)(x- a)=(b - y)(b - y)，∵b=，y= ，y=

∴ (a- x)(x- a)= ( )( )

(a- x)(x- a)=(a+ x)(a+x) ( x -a)(x- a)， -4=(a+ x)(a+x) ，

xx +a(x+x)+ a= -4， -4k- 8+ a（-2k）+ a= -4

a - 4 - 2ak - 4k =0 ， (a+2)(a- 2)-2k(a+2)=0 ，

∵k为任意实数，∴ a+2=0，a=-2，b=-2， D(-2，-2).