如图,在直角坐标系中,以点A(,0)为圆心,以
为半径圆与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E.
(1)若抛物线经过点C,D两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在该抛物线上;
(2)在(1)中的抛物线的对称轴上有一点P,使得△PBD的周长最小,求点P的坐标;
(3)设Q为(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形BCQM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1),在;(2)
;(3)存在,(
,12).
【解析】
试题分析:(1)由已知条件先求出C,D两点的坐标,再把其横纵坐标分别代入抛物线的解析式求出b,c,再将点B坐标代入检验即可;(2)BD的长为定值,所以要使△PBD周长最小,只需PB+PD最小,连接DC,则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点;(3)设Q( ,t)为抛物线对称轴x=
上一点,M在抛物线上,要使四边形BCQM为平行四边形,则BC∥QM且BC=QM,再分①当点M在对称轴的左侧时和①当点M在对称轴的右侧时,讨论即可.
试题解析:(1)∵OA=,AD=AC=2
,∴C(3
,0),B(
,0).
又在Rt△AOD中,OA=,∴OD=
.
∴D
.
又∵D,C两点在抛物线上,∴,解得
.
∴抛物线的解析式为.
又∵当时,
,
∴点B(,0)在该抛物线上.
(2)∵,∴抛物线的对称轴方程为:x=
.
∵BD的长为定值,∴要使△PBD周长最小,只需PB+PD最小.
连接DC,则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点,
设直线DC的解析式为y=mx+n,,解得
.
∴直线DC的解析式为.
在中令x=
得y=
.
∴P的坐标为
.
(3)存在,
设Q(,t)为抛物线对称轴x=
上一点,M在抛物线上,
要使四边形BCQM为平行四边形,则BC∥QM且BC=QM,且点M在对称轴的左侧,
过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M(x,t),由BC=QM得QM=4,从而x=
,t=12.
故在抛物线上存在点M(,12)使得四边形BCQM为平行四边形.
考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.勾股定理;5.轴对称的应用(最短线路问题);6. 平行四边形的判定.
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