Question

明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸，其上部为能够旋转的拱形钢结构，并且具有开启、闭合功能，全国独-无二，如图1．舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分，其中舞台高度1.15米，台口高度13.5米，台口宽度29米，如图2．以ED所在直线为x轴，过拱顶A点且垂直于ED的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求拱形抛物线的函数关系式；
（2）舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度？（精确到0.01米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线在坐标系的特殊位置，对称轴是y轴时可设抛物线的关系式为y=ax²+c，由已知数据可确定顶点A坐标及点C坐标，可求抛物线解析式．
（2）已知MN的长度，就知道M，N两点的横坐标，代入抛物线解析式，求纵坐标，即为大幕的高度．
解答：解：（1）由题设可知，
OA=13.5+1.15=14.65米，OD=米．
∴A（0，14.65），C（，1.15）．
设拱形抛物线的关系式为y=ax²+c，
则，
解得
a=-，c=14.65．
所以，所求函数的关系式为
y=-x²+14.65．

（2）由MN=20米，设点N的坐标为（10，y），代入关系式，
得y=-×10²+14.65≈8.229．
∴y-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08．
即大幕的高度约为7.08米．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．