Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐标是（3，1），

根据题意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；

②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，

∴C（ ，1），

∵C、D两点的纵坐标都为1，

∴CD∥x轴，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余，

要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，

设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，

则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P点的坐标为（ ， ）；

（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3

则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；

综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余．

（2）解：如图3，

∵D（3，1），E（1，1），

抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，

所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分两种情况：

①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数不可能是3个

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，

（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c必有两个交点，符合条件的点Q必定有2个；

（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c只有1个交点，才能使符合条件的点Q共3个．

根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有一个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+ =0，解得a= ，

∵抛物线的顶点在x轴下方

∴ ＜0，

∴a＞1，

∴a= 舍去

综上所述，a的值为a= ．

【解析】（1）通过作过点D作垂线构造全等直角三角形，即△AOB≌△BFD，求出D坐标代入抛物线解析式即可；（2）要使∠POB与∠BCD互余，须∠POB=∠BAO，可分类讨论：P在x轴的上方时或P在x轴的下方时；根据三角函数列出比例式，求出结果；（3）须分类讨论，分两种情况：当抛物线y=ax2+bx+c开口向下或当抛物线y=ax2+bx+c开口向上；数形结合，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值，进行验证.