Question

19．平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0）．点P在直线y=-x+m上，且AP=OP．
（1）用含m的代数式表示点P的坐标；
（2）当AP=4时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据点A的坐标是（4，0），AP=OP可知点P在线段OA的垂直平分线上，故可得出P点的横坐标，再由点P在直线y=-x+m即可得出其纵坐标，进而得出结论；
（2）易知点P在线段OA的垂直平分线上，那么就能求得△AOP是等边三角形，就能求得点P的横坐标，根据勾股定理可求得点P的纵坐标．把这点代入一次函数解析式即可，同理可得到在第四象限的点．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（4，0），AP=OP，
∴点P在线段OA的垂直平分线上，
∴P点的横坐标=$\frac{4}{2}$=2．
∵点P在直线y=-x+m上，
∴y=-2+m，
∴P（2，m-2）；

（2）∵由已知AP=OP，点P在线段OA的垂直平分线PM上．
∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等边三角形．
如图，当点P在第一象限时，OM=2，OP=4．
在Rt△OPM中，PM=$\sqrt{{OP}^{2}-{OM}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴P（2，2$\sqrt{3}$）．=
∵点P在y=-x+m上，
∴m=2+2$\sqrt{3}$．（6分）
当点P在第四象限时，根据对称性，P′（2，-2$\sqrt{3}$）．
∵点P′在y=-x+m上，
∴m=2-2$\sqrt{3}$
则m的值为2+2$\sqrt{3}$或2-2$\sqrt{3}$

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知等腰三角形的性质是解答此题的关键．