Question

19．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N，求证：$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．

Answer 1

分析 （1）首先在BC上截取BG=BE，连接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△AEF≌△GCE，求出∠EAF=135°；
（2）首先延长AF、CD交于点H，判断出∠FAD=45°，进而判断出四边形ABDH是平行四边形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位线，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD中，根据AH=$\sqrt{2}$AD，可推得 $\sqrt{2}$AD=AF+2DM．

解答 （1）解：在BC上截取BG=BE，连接EG，如图1所示：
∵BG=BE，∠EBG=90°，
∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AE=GC，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠GCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠GCE，
在△AEF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}\\{∠AEF=∠GCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GCE（SAS），
∴∠EAF=∠CGE=135°，

（2）证明：延长AF、CD交于点H，如图2所示：
由（1）知，∠EAF=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°，
∵∠ADB=45°，
∴AH∥BD，
又∵AB∥HD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴DH=AB=CD，
即D是CH的中点，
∴DM是△CFH的中位线，
∴FH=2DM，
在等腰直角三角形HAD中，
AH=$\sqrt{2}$AD，
∵AH=AF+FH=AF+2DM，
∴$\sqrt{2}$AD=AF+2DM；

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．