【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(﹣2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:①abc>0;②7a+c<0;③a+b≤m(am+b)(m为任意实数)④若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;⑤若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣1的两根为x1,x2,且x1<x2,则﹣2≤x1<x2<4.其中正确结论的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【解析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案.
解:①由图象可知:a>0,c<0,
﹣>0,
∴abc>0,故①正确;
②∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线的对称轴为直线x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a,
当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=0,
∴4a+4a+c=0,
∴8a+c=0,
∴7a+c=﹣a,
∵a>0,
∴﹣a<0,
∴7a+c<0,故②正确;
③由图象可知,当x=1时,函数有最小值,
∴a+b+c≤am2+bm+c(m为任意实数),
∴a+b≤m(am+b),故③正确;
④∵A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,
由抛物线的对称性可知:x1+x2=1×2=2,
∴当x=2时,y=4a+2b+c=4a﹣4a+c=c,故④正确;
⑤∵图象过点(﹣2,0),对称轴为直线x=1.抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0),
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x﹣4)
若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣1,
即方程a(x+2)(x﹣4)=1的两根为x1,x2,
则x1、x2为抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标,
∵x1<x2,
∴x1<﹣2<4<x2,故⑤错误;
故选:C.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,且E为AD的中点,FC=3DF,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为8,求△BEG的面积.
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【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:PD=PF;
(3)连接CD,若CD﹦3,BD﹦4,求⊙O的半径和DE的长.
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
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【题目】如图,利用函数y=x2﹣4x+3的图象,直接回答:
(1)方程x2﹣4x+3=0的解是 ;
(2)当x满足 时,函数值大于0.
(3)当0<x<5时,y的取值范围是 .
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【题目】已知,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点O是边AC的中点,连接OB,将△AOB绕点A顺时针旋转α°至△ANM,连接CM,点P是线段CM的中点,连接PB,PN.
(1)如图1,当α=180时,请直接写出线段PN和PB之间满足的位置和数量关系;
(2)如图2,当0<α<180时,请探索线段PN和PB之间满足何位置和数量关系?证明你的结论
(3)当△AOB旋转至C,M,N三点共线时,线段BP的长为 .
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【题目】如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=240cm,AB=120cm,球目前在G点位置,AG=80cm,如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过点F反弹后碰到CD边上的点H,再经过点H反弹后,球刚好弹到AD边的中点E处落袋.
(1)求证:△BGF∽△DHE;
(2)求BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,点A(3,3),点B(4,0),点C(0,-1).
(1)以点C为中心,把△ABC逆时针旋转90°,画出旋转后的图形△A’B’C’(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,
①点A经过的路径AA’的长为________;(结果保留)
②写出B’的坐标为________.
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【题目】如图,D为直角△ABC中斜边AC上一点,且AB=AD,以AB为直径的⊙O交AD于点F,交BD于点E,连接BF,BF.
(1)求证:BE=FE;
(2)求证:∠AFE=∠BDC;
(3)已知:sin∠BAE=,AB=6,求BC的长.
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