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    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
    1
    2
    x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
    （1）求b、c的值；
    （2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
    （3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．
    分析：（1）将点B（-1，0）分别代入y=
    1
    2
    x+b与y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c，即可求得b、c的值；
    （2）①由于直线y=
    1
    2
    x+b与抛物线交于A、B两点，所以联立直线y=
    1
    2
    x+b与抛物线的解析式，即可求出点A的坐标；
    ②过点A作AH⊥y轴于H，先运用勾股定理的逆定理证明出△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，再利用圆周角定理得出∠ACD=∠BCD=45°，∠BDC=∠BAC，得到△DBC∽△AEC，则∠DBC=∠AEC，然后在Rt△DBO中利用正切函数的定义即可求出tan∠AEC=tan∠DBC=3；
    （3）分三种情况讨论：①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．即可得到有四个不同的旋转中心．
    解答：解：（1）∵一次函数y=
    1
    2
    x+b的图象经过点B（-1，0），
    ∴0=
    1
    2
    ×（-1）+b，
    解得b=
    1
    2
    ；
    ∵抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c经过点B（-1，0），
    ∴0=-
    5
    6
    ×（-1）2+
    13
    6
    ×（-1）+c，
    解得c=3；

    （2）①
    1
    2
    x+
    1
    2
    =-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3，
    化简得x2-2x-3=0，
    解得：x1=-1，x2=3．
    当x=3时，y=2，
    ∴A（3，2）；
    ②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
    ∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
    ∴在△ABD中，AB2=（-1-3）2+（0-2）2=20，AD2=（0-3）2+（3-2）2=10，DB2=（-1-0）2+（0-3）2=10，
    ∴AB2=AD2+DB2，AD=DB，
    ∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
    ∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
    ∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
    又∵∠BDC=∠BAC，
    ∴△DBC∽△AEC，
    ∴∠DBC=∠AEC，
    ∴tan∠AEC=tan∠DBC=
    OD
    OB
    =
    3
    1
    =3；

    （3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
    1、旋转后OD在抛物线上：
    设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3=-
    5
    6
    （x-
    13
    10
    ）2+
    529
    120
    ，对称轴x=
    13
    10
    ，
    则x1=
    13
    10
    -
    1
    2
    |OD|=
    13
    10
    -
    3
    2
    =-
    1
    5
    ，x2=
    13
    10
    +
    3
    2
    =
    14
    5
    ，
    则两点为（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）．
    这时分别：①O′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）；②O′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ），此时O′D′=3．
    设旋转中心P点的坐标为（x，y）．
    ①如果O′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ），由题意，得
    x+y=
    38
    15
    y-x=
    1
    5
    ，解得
    x=
    7
    6
    y=
    41
    30
    ，
    此时旋转中心P1为（
    7
    6
    ，
    41
    30
    ）；
    ②如果O′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ），由题意，得
    y-x=
    38
    15
    x+
    1
    5
    =3-
    38
    15
    -x
    ，解得
    x=
    2
    15
    y=
    8
    3
    ，
    此时旋转中心P2为（
    2
    15
    ，
    8
    3
    ）；
    2、旋转后OB在抛物线上：
    由于OB⊥y轴，则O′B′⊥x轴，此时显然不成立；
    3、旋转后BD在抛物线上：
    BD边旋转90°后所得线段B′D′与BD垂直，直线斜率kBD=3，则kB′D′=-
    1
    3
    ．
    设旋转后B′D′所在直线方程为：y=-
    1
    3
    x+m，
    与抛物线：y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3联立，解方程组，得：
    x=
    15+
    		585-120m
    10
    y=
    -15-
    		585-120m
    +30m
    30
    或
    x=
    15-
    		585-120m
    10
    y=
    -15+
    		585-120m
    +30m
    30
    ，此为两个交点的坐标．
    ∵B′D′=BD=
    		10
    ，
    ∴（
    15-
    		585-120m
    10
    -
    15+
    		585-120m
    10
    ）2+（
    -15+
    		585-120m
    +30m
    30
    -
    -15-
    		585-120m
    +30m
    30
    ）2=10，
    整理，得585-120m=225，
    解得m=3，
    ∴两点坐标：（3，2），（0，3）．
    ①如果B′（3，2），D′（0，3），则D′与D重合，所以此时旋转中心为P3（0，3）；
    ②如果D′（3，2），B′（0，3），则此时旋转中心为P4（1，1）．
    综上可知，旋转中心为（0，3）、（1，1）、（
    7
    6
    ，
    41
    30
    ）、（
    2
    15
    ，
    8
    3
    ）．
    点评：本题考查了一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，两函数的交点坐标的求法，勾股定理的逆定理，锐角三角函数，旋转的性质，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
    		2
    cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

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    学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

    (1)按照这种规定填写下表：

    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

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    阅读下面的材料：

    小明在研究中心对称问题时发现：

    如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

    如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

    （1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

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