Question

2．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1）BE与IE相等吗？请说明理由．
（2）连接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据∠BIE=∠2+∠3，∠IBE=∠5+∠4，而∠5=∠1=∠2，得出∠BIE=∠IBE，即可证出IE=BE；
（2）由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．

解答 证明：（1）如图1，连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．
（2）四边形BECI是菱形，
如图2∵∠BED=∠CED=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∵I是△ABC的内心，
∴∠4=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠ICD=30°，
∴∠4=∠ICD，
∴BI=IC，
由（1）证得IE=BE，
∴BE=CE=BI=IC，
∴四边形BECI是菱形．

点评 本题考查了三角形的内心的性质，以及圆周角定理，正确求得∠EIC的度数是关键．