Question

9．如图所示，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q沿BC从点B开始向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PB=2厘米时，求点P移动多少秒？
（2）t为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？
（3）求四边形PBQD的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．

Answer 1

分析 （1）由AB、PB的长可求得AP的长，则可求得t的值；
（2）根据等腰直角三角形的性质可求得PB=BQ，则可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）可用t分别表示出S_△APD、S_△QCD，再利用面积的和差可求得四边形PBQD的面积，则可求得结论．

解答 解：
（1）∵PB=2cm，AB=6cm，
∴AP=AB-PB=6-2=4（秒），
即点P移动4秒；
（2）∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB=BQ，即6-t=2t，解得t=2
∴当t的值为2秒时，△PBQ为等腰直角三角形；
（3）由题意可知AP=t，AB=6，BQ=2t，BC=12，
∴PB=6-t，QC=12-2t，CD=6，AD=12，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×12=6t，S_△QCD=$\frac{1}{2}$QC•CD=$\frac{1}{2}$（12-2t）6=36-6t，
∴S_{四边形PBQD}=S_矩形ABCD-S_△APD-S_△QCD=72-6t-（36-6t）=36，
结论：不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及转化思想．用t表示出相应线段的长度，化动为静是解决这类运动型问题的一般思想．本题考查知识点不是太多，难度不大．