Question

【题目】已知:如图，等腰中，，∥，CD∥，点沿着从向运动，同时点沿着从向运动，、两点速度相同，当到达时，两点停止运动.

(1)图中有__________对全等三角形.请你找一对说明理由，写出过程.

(2)在、运动过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？请说明理由.

(3)当平分时，延长交于，试说明.

(4)在(3)的条件下，若，请问此时点和点重合吗?为什么?

Answer 1

【答案】（1）3，见解析；（2）图中阴影部分的面积不发生变化，理由见解析；（3）见解析；（4）E点和G点重合，理由见解析.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理写出图中的所有全等三角形，根据SAS定理证明△ABC≌△CDA；

（2）证明△BCE≌△DAF，得到图中阴影部分的面积＝△ABC的面积；

（3）利用SAS定理证明△AEC≌△CFD，根据全等三角形的性质解答；

（4）根据等腰三角形的判定定理得到EA＝EC，根据△BCE≌△GCF得到BC＝GC，证明CB＝CE，证明结论．

解：（1）△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF，△AEC≌△CFD，

证明△ABC≌△CDA，

证明：∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠ADC，

在△ABC和△CDA中，AB＝CD，∠B＝∠ADC，BC＝AD，

∴△ABC≌△CDA（SAS），

故答案为：3；

（2）在E、F运动过程中，图中阴影部分的面积不发生变化，

理由：由题意得，BE＝AF，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠DAC＝∠B，

在△BCE和△DAF中，BE＝AF，∠B＝∠DAF，BC＝DA，

∴△BCE≌△DAF（SAS），

∴图中阴影部分的面积＝△ABC的面积，

∴在E、F运动过程中，图中阴影部分的面积不发生变化；

（3）∵BE＝AF，

∴AE＝CF，

在△AEC和△CFD中，AE＝CF，∠CAE＝∠DCF，AC＝DC，

∴△AEC≌△CFD（SAS）

∴∠AEC＝∠DFC，

∴∠BEC＝∠GFC，

∵∠BCE＝∠ACE，

∴∠CGF＝∠B；

（4）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠ECA＝∠ACD，

∴∠ECA＝∠BAC，

∴EA＝EC，

∵CF＝AE，

∴CF＝CE，

在△BCE和△GCF中，∠BCE＝∠GCF，∠B＝∠CGF，CE＝CF，

∴△BCE≌△GCF（AAS）

∴BC＝GC，

∵∠EAC＝∠ECA，∠BCE＝∠ACE，

∴∠BEC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠B，

∴∠BEC＝∠B，

∴CB＝CE，又CB＝GC，

∴E点和G点重合．