Question

已知△ABC和△EPF都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠EFP=90°，AC=BC，EF=PF．如图1，△ABC的边BC在直线l上，△EPF的边FP也在直线l上，边AC与边EF重合．
（1）在图1中，通过观察、测量，猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是

 

、

 

；
（2）将△EPF沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）将△EPF 沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC 的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认
为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）直接利用图形得出AB与AP的数量关系和位置关系；
（2）根据题意得出△BCQ≌△ACP（SAS），进而得出BQ与AP的数量关系和位置关系；
（3）根据题意得出△BCQ≌△ACP（SAS），进而得出BQ与AP的数量关系和位置关系．

解答：解：（1）AB与AP的数量关系和位置关系分别是：AB=AP，AB⊥AP；
故答案为：AB=AP，AB⊥AP；

（2）BQ=AP，BQ⊥AP，
理由如下：
延长BQ交AP于点M
∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=180°-∠ACB=90°
∴∠CQP=45°，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP（SAS）                            
∴BQ=AP，∠QBC=∠CAP，
∵∠CAP+∠APC=90°，
∴∠QBC+∠APC=90°，
∴∠BMP=90°，
∴BQ⊥AP；
                                         
（3）在（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系成立，
理由如下：
延长QB交AP于点N
∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°，
∴∠QPC=∠EPF=45°，
∵∠ACB=90°
∴∠PCQ=180°-∠ACB=90°，
∴∠PQC=45°，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP∠BQC=∠APC，
∵∠APC+∠PAC=90°，
∴∠BQC+∠PAC=90°，
∴∠ANQ=90°，
∴BQ⊥AP．

点评：此题主要考查了几何变换以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△BCQ≌△ACP是解题关键．