【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,E是CB延长线上一点,且∠BAE=∠C.
(1)求证:直线AE是⊙O的切线;
(2)若∠BAE=30°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积;
(3)若EB=AB,cos∠E=,AE=24,求EB的长及⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2) π﹣;(3)BE=20,半径:.
【解析】
(1)连接BD,利用圆周角定理得到∠ABD=90°,则∠D+∠DAB=90°,再利用等量代换证明∠DAE=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连接OB,先计算出∠OAB=60°,得到△AOB为等边三角形,所以∠AOB=60°,然后利用阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算;
(3)作BH⊥AE于H,利用等腰三角形的性质得AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中利用余弦的定义可计算出BE=20,则AB=20,由于∠D=∠C=∠BAE=∠E,则cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,设BD=3x,AD=5x,易得4x=20,解出x得到AD的长,从而得到⊙O的半径.
(1)连接BD,如图,∵AD为直径,∴∠ABD=90°,∴∠D+∠DAB=90°.
∵∠C=∠D,∠BAE=∠C,∴∠BAE+∠DAB=90°,即∠DAE=90°,∴AD⊥AE,∴直线AE是⊙O的切线;
(2)连接OB,如图,∵∠BAE=30°,∴∠OAB=60°,而OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×22=π﹣;
(3)作BH⊥AE于H,如图,∵EB=AB,∴AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中,∵cos∠E==,∴BE=12×=20,∴AB=BE=20.
∵∠D=∠C=∠BAE=∠E,∴cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,设BD=3x,AD=5x,∴AB=4x,即4x=20,解得:x=5,∴AD=25,∴⊙O的半径为.
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【题目】如图,二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点,与轴相交于点,对称轴为直线,且,则下列结论:
①;②;③;④关于的方程有一个根为,其中正确的结论个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是直线AB上的一动点(不和A,B重合),BE⊥CD于E,交直线AC于F.
(1)点D在边AB上时,试探究线段BD,AB和AF的数量关系,并证明你的结论;
(2)点D在AB的延长线上时,试探究线段BD,AB和AF的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】已知如图,在以为原点的平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,连接,,直线过点且平行于轴,,
求抛物线对应的二次函数的解析式;
若为抛物线上一动点,是否存在直线使得点到直线的距离与的长恒相等?若存在,求出此时的值;
如图,若、为上述抛物线上的两个动点,且,线段的中点为,求点纵坐标的最小值.
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【题目】某校为了解八年级学生的视力情况,对八年级的学生进行了一次视力调查,并将调查数据进行统计整理,绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分.
视力 | 频数(人) | 频率 |
4.0≤x<4.3 | 20 | 0.1 |
4.3≤x<4.6 | 40 | 0.2 |
4.6≤x<4.9 | 70 | 0.35 |
4.9≤x<5.2 | a | 0.3 |
5.2≤x<5.5 | 10 | b |
(1)在频数分布表中,a= ,b= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若视力在4.6以上(含4.6)均属正常,求视力正常的人数占被调查人数的百分比是多少?
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【题目】我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题:今有望海岛,立两表齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?
译文:今要测量海岛上一座山峰AH的高度,在B处和D处树立标杆BC和DE,标杆的高都是3丈,B和D两处相隔1000步(1丈=10尺,1步=6尺),并且AH,CB和DE在同一平面内.从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上;从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上.则山峰AH的高度是_______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,过⊙C上一点P作⊙C的切线l.当入射光线照射在点P处时,产生反射,且满足:反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等,点P称为反射点.规定:光线不能“穿过”⊙C,即当入射光线在⊙C外时,只在圆外进行反射;当入射光线在⊙C内时,只在圆内进行反射.特别地,圆的切线不能作为入射光线和反射光线.光线在⊙C外反射的示意图如图1所示,其中∠1=∠2.
(1)自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示,P1是第1个反射点.请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3;
(2)当⊙O的半径为1时,如图3:
①第一象限内的一条入射光线平行于y轴,且自⊙O的外部照射在圆上点P处,此光线经⊙O反射后,反射光线与x轴平行,则反射光线与切线l的夹角为___________°;
②自点M(0,1)出发的入射光线,在⊙O内顺时针方向不断地反射.若第1个反射点是P1,第二个反射点是P2,以此类推,第8个反射点是P8恰好与点M重合,则第1个反射点P1的坐标为___________;
(3)如图4,点M的坐标为(0,2),⊙M的半径为1.第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后,反射光线与坐标轴无公共点,求反射点P的纵坐标的取值范围.
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【题目】如图所示的抛物线是二次函数(a≠0)的图象,则下列结论:①abc>0;②b+2a=0;③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);④a+c>b;⑤3a+c<0.其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
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