Question

如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）

Answer 1

分析：（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD=

1

2

BC，由勾股定理求出AD=

3

2

，根据△ABC的面积是

1

2

BC•AD代入即可求出答案；
（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．

解答：解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
在△BDA中由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

22-12

=

3

，
∴△ABC的面积是

1

2

BC•AD=

1

2

×2×

3

=

3

，
答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是

3

．

（2）由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，
连接OA、OB，
∵图形是正六边形，
∴△OAB是等边三角形，且边长是2，
即等边三角形的面积是

3

，
∴正六边形的面积是6×

3

=6

3

，
∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是

11×4

10× 3 +2× 6 3 +11×4

≈0.54，
答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．

点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．