Question

如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列结论：①∠PCB=30°；②点P的坐标是（

3

2

，

3

2

）；③若P、C两点在抛物线y=-

4

3

x2+bx+c上，则b的值是-

3

，c的值是1；④在③中的抛物线CP段（不包括C、P两点）上，存在一点Q，使四边形QCAP的面积最大，最大值为

9 3

16

．其中正确的有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
①∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°，故①正确；
②过P作PD⊥OA于D；
Rt△PAD中，∠PAD=60°，AP=

3

；
∴OD=AD=

3

2

，PD=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

），故②正确；
③将P、C代入抛物线的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 c=1

，
解得

b= 3 c=1

；
故③错误；
④过Q作QM∥y轴，交CP于M；
由③知y=-

4

3

x²+

3

x+1，
由P（

3

2

，

3

2

），C（0，1）易求得直线PC：y=

3

3

x+1；
设M（a，

3

3

a+1），
则Q（a，-

4

3

a²+

3

a+1），则：
QM=-

4

3

a²+

3

a+1-（

3

3

a+1）=-

4

3

a²+

2 3

3

a，
故S_△QPC=

1

2

QM•|x_P|=

1

2

×（-

4

3

a²+

2 3

3

a）×

3

2

=-

3

3

a2+

1

2

a，
由于S_△APC=S_△AOC=

3

2

，
故四边形QCAP的面积S=S_△QPC+S_△APC=-

3

3

a²+

1

2

a+

3

2

，
则Smax=

4×(- 3 3 )× 3 2 - 1 4

4×(- 3 3 )

=

9 3

16

；
故④正确；
所以正确的结论为①②④．
故选B．