Question

（2011•利川市一模）如图，已知：抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A、B两点的坐标分别为A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PB+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B的坐标代入二次函数的解析式，即可得到方程组求得a，b的值，从而得到函数的解析式；
（2）求出C关于对称轴的对称点C′坐标，然后利用待定系数法求得直线BC′的解析式，与对称轴的交点就是P；
（3）求得DE的解析式，进而得到PF、OE的长度，根据S=

1

2

PF•OE即可求得函数的解析式．

解答：解：（1）根据题意得：

36a-6b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 3 b= 4 3

，
则抛物线的函数表达式是：y=

1

3

x²+

4

3

x-4；

（2）在：y=

1

3

x²+

4

3

x-4，中令x=0，解得y=-4，则C的坐标是（0，-4）．
二次函数的解析式是：x=-

4 3

2 3

=-2，
C关于x=-2的对称点C′的坐标是（-4，-4）．
设直线BC′的解析式是y=kx+b，
则

-4k+b=-4 2k+b=0

，
解得：

k= 2 3 b=- 4 3

，
在直线的解析式是：y=

2

3

x-

4

3

，令x=-2，解得y=-

8

3

，
则P的坐标是：（-2，-

8

3

）；

（3）设D的坐标是（0，c），
设直线PC的解析式是y=ex+f，则

f=-4 -2e+f=- 8 3

，
解得：

f=-4 e=- 2 3

，
则直线的解析式是：y=-

2

3

x-4，
因为CD=m，则D的坐标是（m-4，0），则直线DE的解析式是：y=-

2

3

x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m-

8

3

，故F的坐标是（-2，m-

8

3

），则PF=m，
令y=0，解得：x=

3

2

m-6．即OE=6-

3

2

m．
E的面积为S=

1

2

PF•OE=

1

2

m（6-

3

2

m），
即S=-

3

4

m²+3m（0＜m＜4）．
当x=

3

3 2

=2时，有最大值是：3．

点评：本题考查了对称点的性质，待定系数法求函数的解析式，直线平行的条件的综合应用，求得DE的解析式是关键．