Question

已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=-1为关于x的一元二次方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子

a-2

+

2-a

有意义，且b为方程y²-8y+15=0的根，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；
理由如下：
∵x=-1为方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根，
∴（c-b）+2（b-a）+（a-b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵c-b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形；

（2）依题意，得

a-2≥0 2-a≥0

，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y²-8y+15=0得y₁=3，y₂=5；
∵b为方程y²-8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7．