Question

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称之为勾股数，观察下列表格所给的三个数a，b，c，a＜b＜c．

（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；

（2）写出当a＝17时，b，c的值．

Answer 1

（1）这些勾股数的共同特点是：①以上各组数均满足a²＋b²＝c²；②最小数（a）3²＝9＝4＋5，5²＝25＝12＋13，7²＝49＝24＋25，…

由以上特点，我们可以猜想这样一个结论：设m是大于1的奇数，将m²拆分为两个连续的整数之和，即m²＝n＋（n＋1），则m，n，n＋1就构成一组勾股数．

证明：∵　m²＝n＋（n＋1），∴　m²＋n²＝2n＋1＋n²＝（n＋1）²．根据勾股定理的逆定理，m，n，n＋1能够成为直角三角形的三边长．∴　m，n，n＋1是一组勾股数．

（2）运用上面得出的结论，当a＝17时，∵　17²＝289＝144＋145，∴　b＝144，c＝145．