Question

我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a²+b²=c²，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n为整数，m＞n，m＞1）
②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中，b=mn，（m、n为正整数，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数）
④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
（3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．

Answer 1

解：（1）（ka）²+（kb）²=k²a²+k²b²=k²（a²+b²）=k²c²=（kc）²，
ka、kb、kc是勾股数；

（2）柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数），
a²=（n²-1）²=n⁴-2n²+1，
b²=4n²，
a²+b²=n⁴-2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1=（n²+1）²=c²，
∴a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数），是勾股数；

（3）使n=2，
则：a=3，b=4，c=5．
分析：（1）只要求=证出ka、kb的平方和等于kc的平方即可；
（2）选择柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数）为例，分别求出n²-1与2n的平方和，再分解因式发现正好等于（n²+1）的平方；
（3）使n=2，分别代入即可计算出一组勾股数．
点评：此题主要考查了勾股定理与勾股数，关键是根据所给的数据证明a²+b²=c²．