Question

13．如图：已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，且弦CD⊥AB，垂足为E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）求证：CE²=FG•FB；
（2）若tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，BE=8，求Rt△GCF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由AB为直径，得到∠ACB=90°．根据已知条件得到∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；由于CF是⊙O的切线，于是得到∠FCB=∠A，CF²=FG•FB；，推出△BCF≌△BCE根据全等三角形的性质得到CE=CF，∠FBC=∠CBE，于是得到CE²=FG•FB；
（2）由∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，等量代换得到∠ACE=∠CBF，于是得到tan∠CBF=tan∠CBE=$\frac{1}{2}$；根据射影定理得到CE²=AE•EB，求出EA=2，通过R_t△AEC≌R_t△CFG，得到FG=AE=2，根据三角形的面积得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，且AB是直径，
∴AB⊥CD，
即CE是Rt△ABC的高，
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；
∵CF是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG•FB；，
∴∠FCB=∠ECB；
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
在△BCF与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCB=∠ECB}\\{∠BFC=∠BEC}\\{BC=BC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BCE，
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，
∴CE²=FG•FB．

（2）解：∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF，
∴tan∠CBF=tan∠CBE=$\frac{1}{2}$；
∵BE=8，
∴$\frac{CE}{8}$=$\frac{1}{2}$，CE=4，
由（1）知CF=CE=4，
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE•EB，即，4²=8EA，
∴EA=2，在R_t△AEC与R_t△CFG中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{AC=CG}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEC≌R_t△CFG，
∴FG=AE=2，
∴S_△CGF=$\frac{1}{2}×$CF•FG=$\frac{1}{2}×$4×2=4．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，弦切角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．