Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC．
（1）求证：∠PBC=∠BAC，且PB•AC=BA•CD；
（2）若PB=10，sin∠P=

3

5

，求PE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由PB为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PBO为直角，得到∠PBD与∠DBO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠BCA为直角，得到∠DBO与∠A互余，根据同角的余角相等可得出∠PBC=∠A，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形BPD与三角形ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于BC，利用垂径定理得到BD=CD，等量代换可得证；
（2）在直角三角形BPD中，由PB及sinP的值求出BD的长，再利用勾股定理求出PD的长，进而确定出BC的长，由第一问两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径BO的长，在直角三角形BPO中，由BP及BO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP-OE即可求出PE的长．

解答：（1）证明：∵PB是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PBO=90°，∠C=90°，
∴∠PBC+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠PBC=∠A，
又∵OP⊥BC，
∴∠BDP=∠C=90°，
∴△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=BD：AC，
∵在⊙O中，BD⊥OD，
∴BD=CD，
∴BP：AB=CD：AC，
∴PB•AC=BA•CD；

（2）解：∵sinP=

3

5

，且BP=10，
∴

BD

BP

=

3

5

，
∴BD=6，
∴BC=2BD=12，
∵在Rt△BDP中，PD=

BP2-BD2

=8，
又∵△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=PD：BC，
∴AB=15，
∴B0=OE=7.5，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP=12.5，
∴PE=OP-OE=12.5-7.5=5．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．