Question

17．如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，2）．
（1）当D点坐标为（2，2）时，求P点的坐标；
（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，求l的值；
（3）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依照题意画出图形，根据点D的坐标结合矩形的性质即可得出四边形OCDP是正方形，由此即可得出点P的坐标；
（2）由OP的长度为定值，可知点P的运动轨迹为以2为半径的圆弧，结合点B的坐标借助于特殊角的三角函数值得出∠COP=120°，再套用弧长公式即可得出结论；
（3）取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，找出点P、P′的坐标，利用待定系数法求出k的值，再结合图形即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，当D点坐标为（2，2）时，CD=2，
∵OC=2，且四边形OABC为矩形，
∴四边形OCDP是正方形，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）．
（2）如图2，∵在运动过程中，OP=OC始终成立，
∴OP=2为定长，
∴点P在以点O为圆心，以2为半径的圆上．
∵点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，2），
∴tan∠COB=$\frac{BC}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COB=60°，∠COP=120°，
∴l=$\frac{120°}{360°}$×2π×2=$\frac{4}{3}$π．
（3）在图2的基础上，取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，如图3所示．
∵OE=4，OP′=2，
∴sin∠OEP′=$\frac{OP′}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OEP′=30°，
∴∠EOP′=60°．
∵∠COP=120°，
∴∠POP′=60°．
∵OP=OP′=60°，
∴△OPP′为等边三角形，
∵OP=2，
∴P（$\sqrt{3}$，-1），P′（$\sqrt{3}$，1）．
当点P在直线y=kx+4上时，有-1=$\sqrt{3}$k+4，
∴k=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
当点P′在直线y=kx+4上时，有1=$\sqrt{3}$k+4，
∴k=-$\sqrt{3}$．
综上可知：若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，则k的取值范围为-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$≤k＜-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、特殊角的三角函数以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）找出四边形OCDP是正方形；（2）找出点P的运动轨迹为圆弧；（3）求出点P、P′的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．