分析 (1)由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°,于是得到△BDF是等边三角形,再证明△AFD≌△DCE即可得到结论;
(2)由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°,于是得到△BDF是等边三角形,再证明△AFD≌△DCE即可得到结论;
(3)由BC=CD,得到AC=CD,得到CE垂直平分AD,证出△ADE是等边三角形,得到△ABC∽△ADE,即可得到结论.
解答 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠ABC=60°.
又∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠BFD=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴DF=BD,∠BFD=60°,
∵BD=CD,
∴DF=CD
∴∠AFD=120°.
∵EC是外角的平分线,
∠DCE=120°=∠AFD,
∵∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠ADF=∠ECD=30°,
在△AFD与△EDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(2)AD=DE;
证明:如图2,过点D作DF∥AC,交AB于点F,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠ABC=60°,
又∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠BFD=60°,
∴△BDF是等边三角形,BF=BD,∠BFD=60°,
∴AF=CD,∠AFD=120°,
∵EC是外角的平分线,
∠DCE=120°=∠AFD,
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC,
∴∠ADF=∠EDC,
在△AFD≌△DCE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(3)解:∵BC=CD,
∴AC=CD,
∵CE平分∠ACD,
∴CE垂直平分AD,
∴AE=DE,
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴△ABC∽△ADE,
在Rt△CDO中,$\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,∴$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADE}}$=$(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}$=$\frac{1}{3}$.
点评 本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出图形是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 78 | B. | 30 | C. | 21 | D. | 12 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①④⑤ | B. | ②⑤⑥ | C. | ①②③ | D. | ①②⑤ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 一边和这边上的高对应相等 | |
B. | 两边和第三边上的高对应相等 | |
C. | 两边和其中一边的对角对应相等 | |
D. | 两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等 |
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