Question

如图，y关于x的二次函数y＝－(x＋m)(x－3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为(－3，0)，连接ED．(m＞0)

(1)写出A、B、D三点的坐标；

(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；

(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标； 　　(2)待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系； 　　(3)分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数． 　　解答：解：(1)A(－m，0)，B(3m，0)，D(0，m)． 　　(2)设直线ED的解析式为y＝kx＋b，将E(－3，0)，D(0，m)代入得： 　　解得，k＝m，b＝m． 　　∴直线ED的解析式为y＝mx＋m． 　　将y＝－(x＋m)(x－3m)化为顶点式：y＝－(x＋m)2＋m． 　　∴顶点M的坐标为(m，m)．代入y＝mx＋m得：m2＝m 　　∵m＞0，∴m＝1．所以，当m＝1时，M点在直线DE上． 　　连接CD，C为AB中点，C点坐标为C(m，0)． 　　∵OD＝，OC＝1，∴CD＝2，D点在圆上 　　又OE＝3，DE2＝OD2＋OE2＝12， 　　EC2＝16，CD2＝4，∴CD2＋DE2＝EC2． 　　∴∠FDC＝90° 　　∴直线ED与⊙C相切． 　　(3)当0＜m＜3时，S△AED＝AE．·OD＝m(3－m) 　　S＝－m2＋m． 　　当m＞3时，S△AED＝AE．·OD＝m(m－3)． 　　即S＝m2－m． 　　点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．

提示：

考点：二次函数综合题．