Question

如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上。

（1）、求证：△ABE≌△ADF；
（2）、若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；
（2）根据等边△AEF的周长是6，得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB＝AD，AE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵等边△AEF的周长是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE²+CF²=EF²，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+）²+x²=4，
解得x₁=或x₂=（舍去），
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的边长为．
考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；