Question

如图：AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F．P为ED延长线上一点，连PC．
（1）若PC与⊙O相切，判断△PCF的形状，并证明．
（2）若D为弧AC的中点，且，DH=8，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）△PCF为等腰三角形．
证明：连接OC，
∵∠PFC=∠AFH，∠AFH+∠A=90°，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙0的切线，
∴∠PFC=∠PCA．
∴PF=PC．
∴△PFC为等腰三角形．

（2）解：连接BC、DO，
∵弧AD=弧DC，∴OD⊥AC．
∵AB为直径．∴BC⊥AC．
∴OD∥BC．∴∠DOH=∠CBA．
∴Rt△DHO∽Rt△ACB．
∴．
设OH=3x，OD=5x，
则（5x）²-（3x）²=64
∴x=2．
∴OD=10．
∴⊙0的半径为10．
分析：（1）猜想△PCF为等腰三角形，证∠PCF=∠PFC，又PC与⊙O相切，连接OC，由∠PCF+∠ACO=∠PFC+∠CAB=90°可以证得．
（2）连接BC、DO，由于D为弧AC的中点，可得OD⊥AC，由DE⊥AB得Rt△DHO∽Rt△ACB，则=，又DH=8，在Rt△DOH中求得OD，即⊙O的半径．
点评：本题考查了切线的性质及三角形的相似及判定，有一定的综合性，难度稍大．