Question

某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB=20米，最高处点C距地面5米（即OC=5米）
（1）分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F，两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于OC对称，H、G在线段AB上），量得矩形EFGH的周长为27.5米，现公园管理人员对拱桥加固维修，在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN，已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全，请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米？

Answer 1

分析：（1）根据抛物线特点可设抛物线解析式为y=ax²+5，把点B的坐标代入可得抛物线解析式；
（2）假设出E点横坐标为x，进而得出E点纵坐标，再利用矩形EFGH的周长为27.5米，即可得出EH的长，进而得出EM的长．

解答：解：（1）因为OC=5米，所以顶点C（0，5），c=5，
此函数解析式为：y=ax²+5，由AB=20米，得出B点坐标为（10，0）代入解析式得：
0=100a+5，
解得：a=-

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，
该抛物线的解析式为：y=-

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x²+5，


（2）设E的坐标为(m，-

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m2+5)，其中m＞0，
则EF=2m，EH=-

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m²+5．
由已知得：2（EF+EH）=27.5，
即2(2m-

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m2+5)=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合题意，舍去），
把m₁=5代入EH=-

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m2+5=-

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×52+5=3.75．
∵在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN，已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全，
∴MH=3.5m，EM=EH-MH=3.75-3.5=0.25m＜0.35m，
∴该“脚手架”的安装不符合要求，
脚手架至少应调低0.35-0.25=0.1米．

点评：此题主要考查了二次函数的应用；根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点纵坐标是解决本题的突破点．