Question

两圆半径之比为2：3，小圆外切正六边形与大圆内接正六边形面积之比为（　　）

• A．2：3
• B．4：9
• C．16：27
• D．4：3

  3

Answer 1

分析：先画出图形，设⊙I的半径为2x，⊙O的半径为3x，作IH⊥MN于H，连结IM、IN、OA、OB，根据正六边形的性质得到∠MIN=60°，则∠MIH=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=

3

3

IH=

2 3

3

x，所以MN=

4 3

3

x，于是可计算出正六边形MNPQKL的面积=8

3

x²，然后根据等边三角形的面积公式可计算出正六边形ABCDEF的面积=

27 3

2

x²，
再计算它们的比值即可．

解答：解：如图，设⊙I的半径为2x，⊙O的半径为3x，
作IH⊥MN于H，连结IM、IN、OA、OB，
∴MH=NH，
∵∠MIN=60°，
∴∠MIH=30°，
∴MH=

3

3

IH=

2 3

3

x，
∴MN=

4 3

3

x，
∴正六边形MNPQKL的面积=6•

1

2

•

4 3

3

x•2x=8

3

x²，
∵∠AOB=60°，
∴S_△OAB=

3

4

•（3x）²=

9 3

4

x²，
∴正六边形ABCDEF的面积=6•

9 3

4

x²=

27 3

2

x²，
∴正六边形MNPQKL的面积：正六边形ABCDEF的面积=8

3

x²：

27 3

2

x²=16：27．
故选C．

点评：本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．