Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）在；（2）；（3）当点P1的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q1（-，2），Q2（，2）；当点P2的坐标为（-，2）时，点Q的坐标分别为Q3（-，2），Q4（，2）．

【解析】

（1）可连接OA，通过证∠AOE=60°，即与旋转角相同来得出OE在y轴上的结论．

（2）已知了AB，OB的长即可求出A的坐标，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的长，也就能求得E点的坐标，要想得出抛物线的解析式还少D点的坐标，可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形，根据OD的长和∠DOx的正弦和余弦值来求出D的坐标．

求出A、E、D三点坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）可先求出矩形的面积，进而可得出平行四边形OBPQ的面积．由于平行四边形中OB边的长是定值，因此可根据平行四边形的面积求出P点的纵坐标（由于P点在x轴上方，因此P的纵坐标为正数），然后将P点的纵坐标代入抛物线中可求出P点的坐标．求出P点的坐标后，将P点分别向左、向右平移OB个单位即可得出Q点的坐标，由此可得出符合条件的两个P点坐标和四个Q点坐标．

（1）点E在y轴上

理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=，

∴AO=2∴sin∠AOB=，∴∠AOB=30°

由题意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°

∵点B在x轴上，∴点E在y轴上．

（2）过点D作DM⊥x轴于点M，

∵OD=1，∠DOM=30°

∴在Rt△DOM中，DM=，OM=

∵点D在第一象限，

∴点D的坐标为(，)

由（1）知EO=AO=2，点E在y轴的正半轴上

∴点E的坐标为（0，2）

∴点A的坐标为（-，1）

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点E，

∴c=2

由题意，将A（-，1），D（，）代入y=ax2+bx+2中，

得

解得

∴所求抛物线表达式为：y=-x2-x+2

（3）存在符合条件的点P，点Q．

理由如下：∵矩形ABOC的面积=ABBO=

∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2．

由题意可知OB为此平行四边形一边，

又∵OB=

∴OB边上的高为2

依题意设点P的坐标为（m，2）

∵点P在抛物线y=-x2-x+2上

∴-m2-m+2=2

解得，m1=0，m2=-

∴P1（0，2），P2（-，2）

∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ∥OB，PQ=OB=，

∴当点P1的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q1（-，2），Q2（，2）；

当点P2的坐标为（-，2）时，点Q的坐标分别为Q3（-，2），Q4（，2）．