Question

6．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程cx²+bx-a=0是关于x的一元二次方程．
（1）判断方程cx²+bx-a=0的根的情况为②（填序号）；
①方程有两个相等的实数根；  
②方程有两个不相等的实数根；
③方程无实数根；            
④无法判断
（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠D=30°，求方程cx²+bx-a=0的根；
（3）若x=$\frac{1}{4}$a是方程cx²+bx-a=0的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=b²+4a•c，由于a、b、c为三角形的边长，则△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）连接OA，如图，根据垂径定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=CB，利用圆周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，则可判断△OAB为等边三角形，得到AB=OB=2，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，所以AC=2AE=2$\sqrt{3}$，即a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=2，然后利用求根公式法解方程2x²+2$\sqrt{3}$x-2=0；
（3）根据一元二次方程根的定义，把x=$\frac{1}{4}$a代入cx²+bx-a=0后变形得到$\frac{ac}{4}$=4-b，易得b＜4，利用a、b、c的长均为整数得到b=1，2，3，然后分类讨论：当b=1时，ac=12，；当b=2时，ac=8；当b=3时，ac=4，再利用整数的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三边的关系确定满足条件的a、b、c的值．

解答 解：（1）△=b²-4a•（-c）=b²+4a•c，
∵a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，即a、b、c都是正数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案为：②；
（2）连接OA，如图，
∵BD⊥AC，∠D=30°，
∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，∠DAC=60°，
∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OB=2，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=2$\sqrt{3}$，
即a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
方程cx²+bx-a=0变形为2x²+2$\sqrt{3}$x-2=0，
整理得方${x}^{2}+\sqrt{3}x$-1=0，
解得：${x}_{1}=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$．
（3）把x=$\frac{1}{4}$a代入cx²+bx-a=0得$c•\frac{1}{16}{a}^{2}+b•\frac{1}{4}a-a$=0，
整理得$\frac{ac}{4}$=4-b，则4-b＞0，
即b＜4，
∵a、b、c的长均为整数，
∴b=1，2，3，
当b=1时，ac=12，则a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；
当b=2时，ac=8，则a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；
当b=3时，ac=4，则a=1，c=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三边的关系，
∴a=2，b=3，c=2．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定、圆周角定理和等边三角形的判定与性质；会运用根的判别式判断一元二次方程根的情况和解一元二次方程；理解一元二次方程解的意义和三角形三边的关系．