【题目】已知,如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,B(5,2),点D是OA的中点,动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动.设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形?若存在,求t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在线段PB上有一点M,且PM=2.5,当P运动多少,四边形OAMP的周长最小值为多少,并画图标出点M的位置.
【答案】(1)t=1.25;(2)①Q(4,2);②Q(1.5,2),③Q(﹣1.5,2);(3)、.
【解析】
(1)先求出OA,进而求出OD=2.5,再由运动知BP=5-2t,进而由平行四边形的性质建立方程5-2t=2.5即可得出结论;
(2)分三种情况讨论,利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论;
(3)先判断出四边形OAMP周长最小,得出AM+DM最小,即可确定出点M的位置,再用三角形的中位线得出BM,进而求出PC,即可得出结论.
(1)∵四边形OABC为矩形,B(5,2),
∴BC=OA=5,AB=OC=2,
∵点D时OA的中点,
∴OD=OA=2.5,
由运动知,PC=2t,
∴BP=BC﹣PC=5﹣2t,
∵四边形PODB是平行四边形,
∴PB=OD=2.5,
∴5﹣2t=2.5,
∴t=1.25;
(2)①当Q点在P的右边时,如图1,
∵四边形ODQP为菱形,
∴OD=OP=PQ=2.5,
∴在Rt△OPC中,由勾股定理得:PC=1.5,
∴2t=1.5;
∴t=0.75,
∴Q(4,2);
②当Q点在P的左边且在BC线段上时,如图2,
同①的方法得出t=2,
∴Q(1.5,2),
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时,如图3,
同①的方法得出,t=0.5,
∴Q(﹣1.5,2);
(3)t=
如图4,
由(1)知,OD=2.5,
∵PM=2.5,
∴OD=PM,
∵BC∥OA,
∴四边形OPMD时平行四边形,
∴OP=DM,
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=5+AM+2.5+DM=7.5+AM+DM,
∴当AM+DM最小时,四边形OAMP的周长最小,
∴作点A关于BC的对称点E,连接DE交PB于M,
∴AB=EB,
∵BC∥OA,
∴BM=AD=,
∴PC=BC﹣BM﹣PM=5﹣﹣=,DM+AM=DE===,
∴t=÷2=,周长的最小值为.
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【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=ABAD,我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.
(1)如图2,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,求证:△DAC∽△CAB.
(2)如图2,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,则∠DAB= °
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的长.
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【题目】(1)计算:2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣|
(2)如图,在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,点D是BC上一点,且DC=AC.求BD的长.
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【题目】如图,四边形 ABCO 是菱形,以点 O 为坐标原点,OC 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若点 A 的坐 标为(-5,12),直线 AC、边 AB 与轴的交点分别是点 D 与点 E,连接 BD.
(1)求菱形 ABCO 的边长;
(2)求 BD 所在直线的解析式;
(3)直线 AC 上是否存在一点 P 使得与的面积相等?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球,它们除颜色之外没有任何其它区别,其中有白球3只、红球2只、黑球1只.袋中的球已经搅匀.
(1)闭上眼睛随机地从袋中取出1只球,求取出的球是黑球的概率;
(2)若取出的第1只球是红球,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球,这时取出的球还是红球的概率是多少?
(3)若取出一只球,将它放回袋中,闭上眼睛从袋中再随机地取出1只球,两次取出的球都是白球概率是多少?(用列表法或树状图法计算)
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【题目】某校九年级(1)班部分学生接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,收集整理数据后,老师将减压方式分为五类,并绘制了如图①②两幅不完整的统计图,请根据图中的信息解答下列问题.
(1)九年级(1)班接受调查的学生共有多少名?
(2)补全条形统计图,并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数.
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【题目】如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈.
(1)若羊圈总面积为400平方米,求羊圈的边长AB, BC各为多少米?
(2) 保持羊圈的基本结构,求羊圈总面积最大可以是多少?
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【题目】如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧 AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为点D,E;在点C的运动过程中,下列说法正确的是( )
A. 扇形AOB的面积为 B. 弧BC的长为 C. ∠DOE=45° D. 线段DE的长是
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