已知.如图.?ABCD中.BC=8cm.CD=4cm.∠B=60°.点M从点D出发.沿DA方向匀速运动.速度为2cm/s.点N从点B出发.沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.过M作MF⊥CD.垂足为F.延长FM交BA的延长线于点E.连接EN.交AD于点O.设运动时间为t.解答下列问题:(1)当t为何值时.△AEM≌△DFM?(2)连接AN.MN.设四边形ANME的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．已知，如图，?ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，过M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AEM≌△DFM？
（2）连接AN，MN，设四边形ANME的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANME的面积是?ABCD面积的$\frac{21}{32}$？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（4）连接AC，交EN于点P，当EN⊥AD时，求线段OP的长度．

分析（1）由全等三角形的性质可知AM=MD=4，故此得到2t=4，于是可求得t的值；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G．在Rt△ABG中依据特殊锐角三角函数值可求得AG的长，由题意可得到AM=8-2t，然后再△AEM中依据特殊锐角三角函数值可求得AE、ME的长，最后依据y=S_△ANM+S_△AEM可得到y与x的函数关系式；
（3）设运动时间t秒时，四边形ANME的面积是?ABCD面积的$\frac{21}{32}$，根据题意列方程求解即可；
（4）过A作AG⊥BC，垂足为G．由（2）可知AE=4-t，从而得到BE的长，然后在△AGB和△BNE中，依据特殊锐角三角函数值可求得NB的长（含t的式子），接下来依据BN=t列出关于t的方程，从而可求得t的值，于是可求得AO、NC的长，最后证明△AOP∽△CNP，最后依据相似三角形的性质可求得OP的长．

解答解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=8．
∵△AEM≌△DFM，
∴AM=MD=4．
∴2t=4．
∴t=2．
（2）如图1所示：过点A作AG⊥BC，垂足为G．

∵∠AGB=90°，∠A=60°，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$/
∵MD=2t，
∴AM=8-2t．
∵AB∥CD，MF⊥CD，
∴MF⊥AB．
∴∠MEA=90°．
∵AD∥BC，
∴∠EAM=∠B=60°．
∴AE=$\frac{1}{2}$AM=4-t，ME=$\sqrt{3}$（4-t）．
∴y=S_△ANM+S_△AEM=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\sqrt{3}$×（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$．
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$．
（3）设运动时间t秒时，四边形ANME的面积是?ABCD面积的$\frac{21}{32}$．
根据题意得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$=$\frac{21}{32}$×8×2$\sqrt{3}$．
整理得：t²-12t+11=0．
解得t=1或t=11（舍去）．
所以当t=1时，四边形ANME的面积是?ABCD面积的$\frac{21}{32}$．
（4）如图2所示：过A作AG⊥BC，垂足为G．

∵由（2）可知AE=4-t．
∴BE=AB+AE=8-t．
∵∠B=60°，EN⊥BC，AG⊥BC，
∴BN=$\frac{1}{2}$BE=4-$\frac{1}{2}$t，BG=$\frac{1}{2}$AB=2．
又∵BN=t，
∴4-$\frac{1}{2}$t=t．
解得：t=$\frac{8}{3}$．
∴GN=BN-BG=$\frac{2}{3}$．
∴AO=$\frac{2}{3}$，NC=$\frac{16}{3}$．
设PO=x，则PN=2$\sqrt{3}$-x．
∵AO∥NC，
∴△AOP∽△CNP．
∴$\frac{OA}{NC}=\frac{OP}{PN}$，即$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{16}{3}}=\frac{x}{2\sqrt{3}-x}$．
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴OP的长为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质、特殊锐角三角函数值、三角形的面积公式、相似三角形的性质和判定，用含t的式子表示相关线段的长度是解题的关键．

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