Question

29、如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE-AF，成立吗？说明理由．
（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA=60°，∠α=120°（如图2），问EF=BE-AF仍成立吗？说明理由．
（3）若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE-AF仍然成立．你添加的条件是

∠α+∠BCA=180°

．（直接写出结论）

Answer 1

分析：（1）成立；理由为：在三角形BCE中，由∠BEC=90°，得到两锐角互余，又∠BCA=90°，得到两个角互余，利用同角的余角相等得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，两个直角相等，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代换得证；
（2）成立；理由为：在三角形BCE中，由∠BEC=120°，得到两锐角之和为60°，又∠BCA=60°，得到两个角相加也为60°，利用等量代换得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，两个直角相等，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代换得证；
（3）当∠α+∠BCA=180°，在三角形BCE中，由∠BEC=∠α，得到两锐角之和为180°-∠α，即为∠BCA，又∠BCA等于两个锐角之和，利用等量代换得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，两个直角相等，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代换得证，故当两角互补时，结论仍成立．

解答：解：（1）EF=BE-AF成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵∠BCA=90°，∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=90°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（2）EF=BE-AF仍成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC=120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，
∵∠BCA=60°，∴∠ACF+∠BCE=60°，
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=120°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（3）当∠α+∠BCA=180°时，结论EF=BE-AF仍然成立．
故答案为：∠α+∠BCA=180°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及同角的余角相等，等量代换等知识点．同学们要仔细阅读题意方能解题，属于一道较复杂的基础题．本题经历了由特殊到一般的过程，考查了学生分析、归纳、总结的能力．