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【题目】如图,AB的直径,C是半圆AB上一点,连ACOCAD平分,交弧BCD,交OCE,连ODCD,下列结论:

①弧CD;②;③;④当C是半圆的中点时,则.其中正确的结论是(

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

根据圆周角定理得出弧CD=BD,推出CD=BD,求出∠DOB=2DAB,∠CAB=2DAB,根据平行线判定推出ACOD,根据三角形外角性质即可判断③,连接BDBE,求出BD=DE,求出BD=CD,即可得出答案.

AD平分∠CAB
∴∠CAD=BAD
∴弧BD=CD,∴①正确;
OA=OD
∴∠ODA=OAD
∴∠BOD=ODA+OAD=2DAB
AD平分∠CAB
∴∠CAB=2DAB
∴∠DOB=CAB
ACOD,∴②正确;
∵∠ACD=ACO+OCD,∠OED=OCD+CDA
根据已知不能推出∠ACO=CDA,∴∠ACD=OED不对,∴③错误;
连接BDBE


C为弧AB中点,
∴∠CAB=45°
∴∠DAB=22.5°
AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴∠DBA=67.5°
C为弧AB中点,
OCAB
OA=OB
AE=BE
∴∠EBA=DAB=22.5°
∴∠DBE=67.5°-22.5°=45°
∴∠DEB=180°-90°-45°=45°=DBE
DE=BD
∵弧CD=BD
CD=BD
CD=DE,∴④正确;
故选B

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(2)当点C的运动路径长为 时,求证:HD=2HA.

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