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5.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC的中点,E是线段BA上一动点(与点B、A不重合),直线DE交CA的延长线于F点.
(1)当DF=DC时,求AF的值;
(2)设BE=x,AF=y.
①求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
②当△AEF为以FA为腰的等腰三角形时,求x的值.

分析 (1)利用等边对等角得到两对角相等,等量代换得到∠B=∠F,再由公共角相等,得到△ABC∽△DFC,由相等得比例求出CF的长,由CF-AC即可AF的长;
(2)取AB的中点M,连接DM,再由D为BC中点,得到MD与AC平行,MD为AC的一半,得到△AFE∽△MDE,由相似得比例即可求出y关于x的函数解析式;
(3)分两种情况考虑:点E位于线段AB上和BA的延长线上时,分别求出x的值,即可得到结果.

解答 解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DF=DC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠F,
∴△ABC∽△DFC,
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{FC}$,
∴$\frac{10}{8}$=$\frac{16}{FC}$,
∴CF=12.8,
∴AF=CF-AC=12.8-10=2.8;
(2)①取AB的中点M,连接DM,如图所示,

∵D是边BC的中点,
∴DM∥AC,DM=$\frac{1}{2}$AC=5,
∴△AFE∽△MDE,
∴$\frac{AF}{DM}$=$\frac{AE}{ME}$,
∴$\frac{y}{5}$=$\frac{10-x}{x-5}$,
∴y=$\frac{5(10-x)}{x-5}$,函数定义域为5<x<10;
②当点E位于线段AB上时,如图所示:

若AF=AE,即$\frac{5(10-x)}{x-5}$=10-x,
解得:x=10(舍去),
若AF=EF,cos∠FAE=$\frac{7}{25}$,
则有5×$\frac{7}{25}$=$\frac{1}{2}$•(x-5),
解得:x=$\frac{39}{5}$,
综上所述,当△AEF为以FA腰的等腰三角形时,x=$\frac{39}{5}$.

点评 此题属于相似形综合题,涉及的知识有:等腰三角形的性质,三角形中位线性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

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