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如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是半⊙O′的切线,AD⊥CD于点D.
(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点,AB=10,tan∠CAD=
12

①求抛物线的解析式;
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
③在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形?若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
分析:(1)连接O′C,由CD是⊙O的切线,可得O′C⊥CD,则可证得O′C∥AD,又由O′A=O′C,则可证得∠CAD=∠CAB;
(2)①首先证得△CAO∽△BCO,根据相似三角形的对应边成比例,可得OC2=OA•OB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=
1
2
,则可求得CO,AO,BO的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
②首先证得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的对应边成比例,即可得到F的坐标,求得直线DC的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案;
(3)根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心漏解.
解答:(1)证明:连接O′C,
∵CD是⊙O′的切线,
∴O′C⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴O′C∥AD,
∴∠O′CA=∠CAD,
∵O′A=O′C,
∴∠CAB=∠O′CA,
∴∠CAD=∠CAB;

(2)解:①∵AB是⊙O′的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠CAB=∠OCB,
∴△CAO∽△BCO,
OC
OA
=
OB
OC

即OC2=OA•OB,
∵tan∠CAO=tan∠CAD=
1
2

∴AO=2CO,
又∵AB=10,
∴OC2=2CO(10-2CO),
解得CO1=4,CO2=0(舍去),
∴CO=4,AO=8,BO=2
∵CO>0,
∴CO=4,AO=8,BO=2,
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4),
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,C三点,
∴c=4,
由题意得:
4a+2b+4=0
64a-8b+4=0

解得:
a=-
1
4
b=-
3
2

∴抛物线的解析式为:y=-
1
4
x2-
3
2
x+4;
②设直线DC交x轴于点F,
∴△AOC≌△ADC,
∴AD=AO=8,
∵O′C∥AD,
∴△FO′C∽△FAD,
O′F
AF
=
O′C
AD

∴O′F•AD=O′C•AF,
∴8(BF+5)=5(BF+10),
∴BF=
10
3
,F(
16
3
,0);
设直线DC的解析式为y=kx+m,
m=4
16
3
k+m=0

解得:
k=-
3
4
m=4

∴直线DC的解析式为y=-
3
4
x+4,
由y=-
1
4
x2-
3
2
x+4=-
1
4
(x+3)2+
25
4
得顶点E的坐标为(-3,
25
4
),
将E(-3,
25
4
)代入直线DC的解析式y=-
3
4
x+4中,
右边=-
3
4
×(-3)+4=
25
4
=左边,
∴抛物线顶点E在直线CD上;

(3)存在,P1(-10,-6),P2(10,-36).
①∵A(-8,0),C(0,4),
∴过A、C两点的直线解析式为y=
1
2
x+4,
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为:y=
1
2
x+b,把B(2,0)代入得b=-1,
∴直线PB的解析式为y=
1
2
x-1,
y=
1
2
x-1
y=-
1
4
x2-
3
2
x+4

解得
x=-10
y=-6
x=2
y=0
(舍去),
∴P1(-10,-6).
②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线,
可求出BC解析式,进而求出与之平行的直线的解析式,
与求P1同法,可求出x1=-8,y1=0(舍去);x2=10,y2=-36.
∴P2的坐标(10,-36).
点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定与性质,点与函数的关系,直角梯形等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
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BD
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=
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5
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k
x
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x
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