Question

为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，其购买资金不超过84万元，每月处理污水至少1340吨．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）．

Answer 1

分析：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，则设一台乙型设备的价格为75%x万元，根据购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，列出方程，解方程即可；
（2）根据“该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，其购买资金不超过84万元，每月处理污水至少1340吨”，列出一元一次不等式组，再解出未知量的取值范围；
（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，首先根据总费用=设备购买费+各种维护费和电费，得出W与x的函数关系式，再利用一次函数的增减性进行分析得出答案即可．

解答：解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题意，得，
3x+2×75%x=54，
解得x=12，
12×75%=9，
故一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元；

（2）设二期工程中购买甲型设备a台，由题意有，

12a+9(8-a)≤84 200a+160(8-a)≥1340

，
解得：

3

2

≤a≤4，
∵a为正整数，
∴a=2，3，4，
∴所有购买方案有三种，分别为：
方案一：购买甲型设备2台，乙型设备6台；  
方案二：购买甲型设备3台，乙型设备5台；
方案三：购买甲型设备4台，乙型设备4台；

（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，由题意得：
W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），
化简得：W=-2a+192，
∵k=-2＜0，
∴W随a的增大而减少，
∴当a=4时，W最小，
∴按方案三甲型设备购买4台，乙型设备购买4台的总费用最少．

点评：此题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据实际问题中的条件列方程或不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系或不等关系，列出关系式是解题关键．