Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？

Answer 1

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以

t

6

=

10-2t

10

，
解得t=

30

11

（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以

t

10

=

10-2t

6

，
解得t=

50

13

（秒）；

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．