Question

如图，抛物线y=x²+bx-c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）把A、B两点坐标代入抛物线的解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点C的坐标；利用点A、C的坐标来求直线AC的解析式；
（2）不妨设点F（x，x²-2x-3），因为点F在直线AC上，因此则点P（x，-x-1）．由此得到PF=-x²+x+2．利用抛物线的顶点坐标公式来求最值．

解答：解：（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，得

1-b-c=0 9+3b-c=0

，
解得

b=-2 c=3

，
所以抛物线解析式为y=x²-2x-3．
将点C的横坐标代入抛物线解析式，得y=-3，即C（2，-3），设直线AC为y=kx+m（k≠0），将点A和点C坐标代入，
得

-k+m=0 2k+m=-3

，
解得

k=-1 m=-1

，
即直线AC解析式为 y=-x-1；

（2）如图，不妨设点F（x，x²-2x-3），因为点F在直线AC上，因此则点P（x，-x-1）．
所以有 PF=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2．
则当x=-

b

2a

=

1

2

时，PF最大值=

4ac-b2

4a

=

9

4

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．解答（2）题时，也可以利用配方法进行解答．