Question

如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象相交于A（-1，4）、B（4，-1）两点，直线l⊥x轴于点E（-4，0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC
（1）求出b和k；
（2）求证：△ACD是等腰直角三角形；
（3）在y轴上是否存在点P，使S_△PBC=S_△ABC？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得k和b的值；
（2））根据直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，求得点D（-4，7），根据直线x=-4与反比例函数y=-

4

x

交于点C确定点C（-4，1），从而确定AD=AC，然后根据勾股定理的逆定理确定△ACD是直角三角形，从而确定△ACD是等腰直角三角形；
（3）过点A作AP₁∥BC，交y轴于P₁，则S_△PBC=S_△ABC，根据B（4，-1），C（-4，1）确定直线BC的解析式为y=-

1

4

x，然后设直线AP₁的解析式为y=-

1

4

x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=

15

4

，求得P₁（0，

15

4

），作P₁关于x轴的对称点P₂，利用S△P1BC=S△P2BC_BC=S_△ABC，确定P₂（0，-

15

4

）；

解答：（1）解：∵一次函数y=-x+b的图象经过点A（-1，4）
∴-（-1）+b=4，
 即b=3，
又∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点A（-1，4）
∴k=xy=（-1）×4=-4；

（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（-4，0）则直线l解析式为x=-4，
∴直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，则D（-4，7）
直线x=-4与反比例函数y=-

4

x

交于点C，
则C（-4，1）
过点A作AF⊥直线l于点F，
∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3

2

又∵AD²+AC²=(3

2

)2+(3

2

)2=36
CD²=6²=36
∴AD²+AC²=CD²
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；

（3）解：过点A作AP₁∥BC，交y轴于P₁，则S_△PBC=S_△ABC
∵B（4，-1），C（-4，1）
∴直线BC的解析式为y=-

1

4

x              
∵设直线AP₁的解析式为y=-

1

4

x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=

15

4

，
∴P₁（0，

15

4

），
∴作P₁关于x轴的对称点P₂，则S△P1BC=S△P2BC_BC=S_△ABC，
故P₂（0，-

15

4

）；
即存在P₁（0，

15

4

），P₂（0，-

15

4

）；

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，用了数形结合思想．