Question

7．如图，点A（0，4），B（4，0），C（10，0），点P在直线AB上，且∠OPC=90°，则点P的坐标为（1，3）或（8，-4）．

Answer 1

分析 设出点P的坐标，过点P作PH⊥OC于点H，由射影定理得到PH²=OH．CH，建立方程求解．

解答 解：∵A（0，4），B（4，0），
∴直线AB为y=-x+4，
设点P的坐标为（a，-a+4），过点P作PH⊥OC于点H，
∵∠OPC=90°，
∴PH²=OH．CH．
∵（-a+4）²=a（10-a），
∴a²-8a+16=10a-a²，
∴2a²-18a+16=0，解得a₁=1，a₂=8．
∴P₁（1，3），P₂（8，-4）．
故答案为（1，3）或（8，-4）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和相似三角形的性质，作出辅助线根据相似三角形是解题的关键．