分析 直线OP交⊙O于C、D,连接OA,如图,利用切线长定理和切线的性质得到OA⊥PA,PA=PB,OP平分∠APB,根据等腰三角形的性质可判断PO⊥AB,则利用射影定理得到AM2=OM•PM=OM•2MN,再有相交弦定理得到AM2=MD•MC,所以2OM•MN=MD•MC,接着利用切割线定理得到NT2=NC•ND,再利用等量代换得到NT2=MN2,从而得到NT=MN,所以NT=NP.
解答 证明:直线OP交⊙O于C、D,连接OA,如图,
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点,
∴OA⊥PA,PA=PB,OP平分∠APB,
∴PO⊥AB,
∴AM2=OM•PM,
而MN=PN,
∴AM2=OM•2MN,
∵AM2=MD•MC,
∴2OM•MN=MD•MC,
∴NT2=NC•ND=(MN-MC)•(MD+MN)=MN2+(MD-MC)•MN-MC•MD=MN2+2OM•MN-MC•MD=MN2,
∴NT=MN,
∴NT=NP.
点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.熟练掌握应用射影定理、相交弦定理和切割线是解决问题的关键.
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A. | 12米 | B. | 16米 | C. | 24米 | D. | 不能确定 |
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