Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O
切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长．

Answer 1

（1）BE是⊙O的切线，（2）BF=.

解析试题分析：
解：（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，
∴△OCE≌△OBE（SAS ）
∴∠OCE＝∠OBE，
又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切
（2）

备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足，
∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4，
同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝ 
又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，
∴FB＝
（其他方法同样给分）
考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。
点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。