Question

如图，BC是⊙O的切线，⊙O的弦AB⊥OC于E，延长BO、CA交于点P，PB与⊙O交于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）求证：2PD•BC=PA•DB．
（3）如果PA=，⊙O的半径为2，设∠ABP=α，求tanα的值．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵BC为圆O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠OAC=∠OBC=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）证明：由题意得：∠PAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠EOB=90°，∠EOB+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠OCB，
∵△AOC≌△BOC
∴∠OCA=∠OCB，AC=BC，
∴∠PAD=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴=，即=，
则2PD•BC=PA•DB；
（3）∵PA为圆的切线，PBD为割线，
∴PA²=PD•PB，
又PA=，⊙O的半径为2，
∴5=PD（PD+4），
∴PD=1或PD=-5（舍去），
∵2PD•BC=PA•DB，
∴BC=2，
则tanα=tan∠ABP=tan∠OCB===．
分析：（1）连接OA，由BC为圆的切线，利用切线的性质得到OB垂直于BC，由OA=OB，AB垂直于OC，利用三线合一得到OC为角平分线，得到一对角相等，再由OC为公共边，利用SAS得到三角形ACO与三角形BCO全等，由全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OA垂直于AC，即可得证；
（2）由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再利用同角的余角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，由平行得比例，将AC换为BC，OD换为BD的一半，变形即可得证；
（3）由切割线定理列出关系式，将PA与BD长代入求出PD的长，代入（2）的结论中求出BC的长，在直角三角形OBC中，由OB与BC的比值即可求出所求．
点评：此题考查了切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切割线定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．