Question

5．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在点AP延长线上取点E．使AG=GE．连接BE、CE．
（1）求证：BE=BC；
（2）∠CBE平分线AE于N点．求∠ANB的度数；
（3）连接DN，求证：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分的性质即可解决问题．
（2）由BN平分∠CBE，推出∠CBN=∠EBN，由AB=BE，推出∠BAE=∠BEA，由∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，推出∠GBP=∠BAG，
由BG⊥AE，推出∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB．
（3）只要证明△BGN，△DHN都是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AG=GE，BG⊥AE，
∴BA=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
BC=AB，
∴BE=BC．

解：（2）∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=∠EBN，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠GBP=∠BAG，
∵BG⊥AE，
∴∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB，
∴∠ANB=45°

（3）过点D作DH⊥AE于H，连接AC．

∴BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，
∵DH⊥AP，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，
∴∠ADH=∠BAH，
∵∠AHD=∠AGB=90°，AD=AB，
∴△ADH≌△BAG（AAS），
∴AH=BG=GN，DH=AG，
∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，
∴DH=HN，
∵∠DHN=90°，
∴DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

点评 本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．