Question

3．如图⊙D交y轴于A、B两点，交x轴于点C，已知点D的坐标为（0，1），过点C的直线$y=-2\sqrt{2}x-8$与y轴交于点P．
（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系．
（2）在直线PC上是否点E，使得S_△EOP=4S_△COP，若存在，求出点E的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以分别求得CD、PC、PD的长，从而可以判断△DCP的形状，进而得到直线PC与⊙O的位置关系；
（2）先判断是否存在点E，然后根据判断设出点E的坐标，由S_△EOP=4S_△COP，可以别表示出它们的面积，从而可以求得点E的坐标．

解答 解：（1）直线PC与⊙O的位置关系是：直线PC与⊙O相切，
理由：∵直线$y=-2\sqrt{2}x-8$与y轴交于点P，与x轴交于点C，
当x=0时，y=-8；当y=0时，x=-2$\sqrt{2}$，
即点P的坐标是（0，-8），点C的坐标是（-2$\sqrt{2}$，0），
又∵点D的坐标是（0，1），∠DOC=∠POC=90°，
∴OC=$2\sqrt{2}$，OD=1，OP=8，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，PC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{P}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{8}^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，DP=OD+OP=1+8=9，
∵${3}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}=9+72=81={9}^{2}$，
∴△OCP是直角三角形，
∴∠OCP=90°，
即直线PC与⊙O相切；
（2）在直线PC上是存在点E，使得S_△EOP=4S_△COP，
设点E的坐标为（a，$-2\sqrt{2}a-8$），
∵S_△EOP=4S_△COP，
∴$\frac{8×|a|}{2}=4×\frac{2\sqrt{2}×8}{2}$
解得，a=$±8\sqrt{2}$，
当a=8$\sqrt{2}$时，$-2\sqrt{2}a-8=-2\sqrt{2}×8\sqrt{2}-8=-40$，
当a=-8$\sqrt{2}$时，$-2\sqrt{2}a-8=-2\sqrt{2}×（-8\sqrt{2}）-8$=24，
即点E的坐标是（$8\sqrt{2}，-40$）或（$-8\sqrt{2}，24$）．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．