Question

（2013•怀柔区二模）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的直径为18，cosB=

1

3

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接CD、OD，求出AD=BD，根据三角形中位线得出OD∥AC，推出DE⊥OD，根据切线判定推出即可．
（2）求出BD，求出AD，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
连接CD、OD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴cos∠B=cos∠A=

1

3

，
∵cos∠B=

BD

BC

=

1

3

，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cos∠A=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

．

点评：本题考查了勾股定理，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．