Question

锐角三角形ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c=

6ab

a+b

，则△ABC的周长为

 

．

Answer 1

考点：约数与倍数,三角形三边关系

专题：

分析：由题目可知，c=

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

，由于三角形中，有a+b＞c，则

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

＜a+b，整理得：3ab＜（a+b）²＜6ab，由于ab≤（

a+b

2

）²，所以（a+b）²≥4ab，假设（a+b）²=4ab，则a=b，由于a，b的最大公约数为2，所以a=b=2，代入a+b+c=

6ab

a+b

，得c=2，符合题意．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，从而求出△ABC的周长．

解答：解：三角形中，有a+b＞c，
则

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

＜a+b，
整理得：3ab＜（a+b）²＜6ab，
由于ab≤（

a+b

2

）²，
所以（a+b）²≥4ab，
假设（a+b）²=4ab，则a=b，
由于a，b的最大公约数为2，
所以a=b=2，
代入a+b+c=

6ab

a+b

，得c=2，符合题意．
则△ABC的周长=2+2+2=6．
当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，满足a+b+c=

6ab

a+b

，则△ABC的周长=10+14+11=35．
故答案为：6或35．

点评：考查了最大公约数与三角形三边关系，本题得到a=b，根据a，b的最大公约数为2，得到a=b=2是解题的关键，题目较难．