Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是的中点，PD切⊙O于点D．
（1）求证：DP⊥AP；
（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．

Answer 1

（1）证明：连接BC、OD，相交于点E；
∵点D是的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∵∠ACB=90°，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴∠PDE=90°
∴四边形PDEC为矩形，
∴DP⊥AP；

（2）由（1）可知四边形PDEC为矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；
∵PD²=PC•PA，
∴PA===18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半径R=13．
分析：（1）连接BC、OD，相交于点E．因为D是弧BC的中点，根据垂径定理及推论可以知道OD⊥BC，而AB是直径，可以推出∠ACB=90°；又因为，PD切⊙O于点D，则∠PDE=90°；所以可证明四边形PDEC为矩形，问题的证；
（2）有（1）的结论和根据切割线定理求出PA，最后在Rt△ACB中利用勾股定理求出圆的半径即可．
点评：此题主要考查了垂径定理，切线的判定定理，切割线定理及勾股定理的综合运用．