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4.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,射线AP位于该菱形外侧,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE、DE,直线DE与直线AP交于F,连接BF,设∠PAB=α.
(1)依题意补全图1;
(2)如图1,如果0°<α<30°,直接写出∠ABF与∠ADF的数量关系;
(3)如图2,如果30°<α<60°,写出判断线段DE,BF,DF之间数量关系的思路.

分析 (1)根据题目要求补全图形即可;
(2)连接AE.由轴对称图形的性质可知EA=AB,∠ABF=∠AEF,由菱形的定义可知AB=AD,从而得到AE=AD,由等腰三角形的性质可知∠AEF=∠ADF,于是得到∠ABF=∠ADF;
(3)由轴对称图形的性质可知EF=BF,然后由DF=ED-EF,可知DF=ED-BF.

解答 解:(1)如图1所示:


(2)∠ABF=∠ADF.
理由:如图2所示:连接AE.

∵点B与点E关于直线PA对称,
∴EA=AB,∠ABF=∠AEF.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD.
∴AE=AD.
∴∠AEF=∠ADF.
∴∠ABF=∠ADF.

(3)DF=ED-BF.
理由:如图3所示:

∵点B与点E关于PA对称,
∴EF=BF.
又∵DF=ED-EF,
∴DF=ED-BF.

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用,解答本题主要应用了菱形的性质、轴对称图形的性质、等腰三角形的性质,由菱形的性质和轴对称图形的性质得到AE=AD是解题的关键.

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